Mechanické vektory, rotace a tenzory

Vektor

Každá veličina, která má velikost i směr, se nazývá vektor. Rychlost, zrychlení a síla jsou několika příklady mechanických vektorů.

Z výše uvedené definice by tedy mělo být zřejmé, že každý vektor musí mít dvě složky: složku velikosti a složku směru.

Zobrazení vektoru

V trojrozměrném prostoru je vektor reprezentován svými složkami X, Y, Z.

Zobrazení vektoru

V trojrozměrném prostoru je vektor reprezentován svými složkami X, Y, Z. Velikostní složka vektoru je vyjádřena maticí čísel a směrová složka vektoru je vyjádřena maticí jednotkových vektorů.

Na vedlejším obrázku lze vektor a, který má tři skalární složky ax, ay a az a tři jednotkové vektory i, j, k podél X, Y a Z, reprezentovat takto:

a= ax i + ay j + az k……………………(1.1)

In the matrix representation of the vector, the starting point of the vector is implicitly considered to be at the origin of the representing co-ordinate system and this is how the vector is different than a point.

The above vector can also be represented in matrix form as:

Image credit: Wikipedia

Multiplication of vector with another vector

The following MathCAD example is showing the inner product of two vectors:

And the result is 20, which is a scalar quantity. Lze tedy konstatovat, že vnitřním součinem dvou vektorů vznikne skalární veličina.

Násobení vektoru skalárem

Násobením skalární veličinou se tedy všechny tři složky vektoru proporcionálně zvětšily, nebo jinými slovy, vektor změnil svou velikost, aniž by se změnil jeho směr.

Tenzory

Teď už víte, že pokud chcete změnit pouze velikost vektoru, aniž byste změnili jeho směr, sáhnete po násobení vektoru skalární veličinou.

V případě, že chcete vytvořit nový vektor s jinou velikostí i směrem (než má původní vektor), pak musíte původní vektor vynásobit jiným typem matematického útvaru, který se nazývá tenzor.

Tenzor je obecnější formou skaláru a vektoru. Neboli, skalár, vektor jsou speciální případy tenzoru.

• Pokud má tenzor pouze velikost a žádný směr (tj. tenzor 0. řádu), pak se nazývá skalár.
• Pokud má tenzor velikost a jeden směr (tj,
• Pokud má tenzor velikost a dva směry (tj. tenzor 2. řádu), pak se nazývá vektor.
• A tak dále…

Upozorňujeme, že mezi termínem „směr“ a termínem „dimenze“ jsou rozdíly. Všechny typy tenzorů (skalární, vektorové i dyadové) lze definovat v trojrozměrném prostoru nebo souřadném systému.

Pro popis tenzoru 1. řádu by měl stačit jeden index. Pro lepší přehlednost viz obr. 1 a výše uvedené maticové zobrazení vektoru a. Pro praktický příklad si můžete představit vektor síly.

Pro popis tenzoru nebo dyády hodnosti 2 použiji níže uvedený příklad tenzoru mechanického napětí:

Všimněte si, že každá ze složek napětí v matici tenzoru napětí má dva indexy, první index je pro směr normály plochy (normála plochy x2 -x3 je 1 atd.) a druhý index je pro směr složky napětí.

Tenzor napětí (diadém neboli tenzor 2. řádu) má tedy dva směry, a to směr normály plochy a směr složky napětí.

Obrázek: Wikipedie

Rotace mechanických vektorů

Řekněme, že máte vektor a chcete změnit jeho směr, pak musíte přistoupit k rotaci vektoru.

Pro otáčení vektoru vynásobte vektor s maticí otáčení a získáte otočený vektor.

V uvedeném příkladu se vektor a otočí o úhel θ kolem osy X a vznikne vektor b. Vektor a se otočí o úhel θ kolem osy X a vznikne vektor b.

V uvedeném příkladu je vektor a otočen o úhel θ kolem osy Y a vznikne vektor b.

V uvedeném příkladu se vektor a otočí o úhel θ kolem osy Z a vznikne vektor b.

Všimněte si, že matice rotace je také matice 3X3, ale nemusí to být nutně tenzor. Tenzor je fyzikální objekt a v tenzorové matici existují určité vztahy mezi jejími jednotlivými prvky.

Závěr

Tenzor je zobecněná forma vektorů a skalárů. Všechny matice nemohou být tenzorem jednotkovým; aby se jednalo o tenzor, musí prvky matice mezi sebou dodržovat určité vztahy. Vektor lze otáčet tak, že jej vynásobíme maticí otáčení.