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Mechanische Vektoren, Rotationen und Tensoren

Vektor

Jede Größe, die sowohl einen Betrag als auch eine Richtung hat, wird Vektor genannt. Geschwindigkeit, Beschleunigung und Kraft sind einige Beispiele für mechanische Vektoren.

Aus der obigen Definition sollte also klar sein, dass jeder Vektor zwei Komponenten haben muss: die Betragskomponente und die Richtungskomponente.

Darstellungen von Vektoren

Im dreidimensionalen Raum wird ein Vektor durch seine X-, Y- und Z-Komponenten dargestellt. Der Betragsanteil des Vektors wird durch die Zahlenmatrix und der Richtungsanteil des Vektors durch die Matrix der Einheitsvektoren ausgedrückt.

In der nebenstehenden Abbildung kann der Vektor a, der drei skalare Komponenten ax, ay und az und drei Einheitsvektoren i, j, k entlang X, Y und Z hat, dargestellt werden als:

a= ax i + ay j + az k……………………(1.1)

vector representation 1

In the matrix representation of the vector, the starting point of the vector is implicitly considered to be at the origin of the representing co-ordinate system and this is how the vector is different than a point.

The above vector can also be represented in matrix form as:

Image credit: Wikipedia

Multiplication of vector with another vector

The following MathCAD example is showing the inner product of two vectors:

vector representation 2

And the result is 20, which is a scalar quantity. Daraus lässt sich schließen, dass das innere Produkt der beiden Vektoren eine skalare Größe ergibt.

Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Vektordarstellung 3

Durch die Multiplikation mit einer skalaren Größe haben sich also alle drei Komponenten des Vektors proportional vergrößert, oder anders gesagt, der Vektor hat seinen Betrag geändert, ohne seine Richtung zu ändern.

Tensoren

Wenn du nur den Betrag eines Vektors ändern willst, ohne seine Richtung zu ändern, dann wählst du die Multiplikation des Vektors mit einer skalaren Größe.

Wenn man einen neuen Vektor mit einem anderen Betrag und einer anderen Richtung (als der Ausgangsvektor) erzeugen will, dann muss man den Ausgangsvektor mit einer anderen Art von mathematischer Einheit multiplizieren, die man Tensor nennt.

Der Tensor ist eine verallgemeinerte Form von Skalar und Vektor. Oder Skalar und Vektor sind Spezialfälle des Tensors.

  • Wenn ein Tensor nur einen Betrag und keine Richtung hat (d.h. ein Tensor vom Rang 0), dann wird er Skalar genannt.
  • Wenn ein Tensor einen Betrag und eine Richtung hat (d.h. ein Tensor vom, Rang 1 Tensor), dann wird er Vektor genannt.
  • Wenn ein Tensor einen Betrag und zwei Richtungen hat (d.h. Rang 2 Tensor), dann wird er Dyade genannt.
  • Und so weiter…

Bitte beachten Sie, dass es Unterschiede zwischen dem Begriff „Richtung“ und dem Begriff „Dimension“ gibt. Alle Arten von Tensoren (Skalare, Vektoren und Dyaden) können in einem dreidimensionalen Raum oder Koordinatensystem definiert werden.

Für die Beschreibung eines Tensors vom Rang 1 sollte ein tiefgestelltes Zeichen ausreichen. Zur besseren Veranschaulichung siehe Abb.1 und die Matrixdarstellung des Vektors a oben. Als praktisches Beispiel kann man sich einen Kraftvektor vorstellen.

Für die Beschreibung eines Rang-2-Tensors oder einer Dyade verwende ich im Folgenden das Beispiel eines mechanischen Spannungstensors:

Unterschiedliche Spannungskomponenten eines Festkörpers

Bitte beachten Sie, dass jede der Spannungskomponenten der Spannungstensormatrix zwei tiefgestellte Indizes hat, wobei der erste tiefgestellte Index für die Richtung der Flächennormalen steht (die Flächennormale der Fläche x2 -x3 ist 1 usw.) und der zweite tiefgestellte Index für die Richtung der Spannungskomponente.

Der Spannungstensor (ein Dyade oder Rang-2-Tensor) hat also zwei Richtungen, nämlich die Richtung der Flächennormalen und die Richtung der Spannungskomponente.

Bildnachweis: Wikipedia

Mechanische Vektordrehungen

Angenommen, man hat einen Vektor und möchte dessen Richtung ändern, dann muss man eine Vektordrehung durchführen.

Um den Vektor zu drehen, multipliziert man den Vektor mit der Drehmatrix und erhält den gedrehten Vektor.

Vektorrotation um x

Im obigen Beispiel wird der Vektor a um den Winkel θ um die X-Achse gedreht und es entsteht der Vektor b.

Vektordrehung um y

Im obigen Beispiel wird der Vektor a um den Winkel θ um die Y-Achse gedreht und es entsteht der Vektor b.

Vektordrehung um z

Im obigen Beispiel wird der Vektor a um den Winkel θ um die Z-Achse gedreht und es entsteht der Vektor b.

Bitte beachten Sie, dass die Drehmatrix auch eine 3X3-Matrix ist, aber nicht unbedingt ein Tensor. Ein Tensor ist ein physikalisches Objekt und in einer Tensormatrix gibt es bestimmte Beziehungen zwischen den verschiedenen Elementen.

Schlussfolgerung

Tensor ist die verallgemeinerte Form von Vektoren und Skalaren. Nicht alle Matrizen können ein unitärer Tensor sein; um ein Tensor zu sein, müssen die Matrixelemente bestimmten Beziehungen untereinander folgen. Ein Vektor kann gedreht werden, indem man ihn mit einer Rotationsmatrix multipliziert.

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