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Vectores mecánicos, rotaciones y tensores

Vector

Cualquier cantidad que tenga magnitud y dirección se llama vector. La velocidad, la aceleración y la fuerza son algunos ejemplos de vectores mecánicos.

Así, a partir de la definición anterior debe quedar claro que todo vector debe tener dos componentes: la componente de magnitud y la componente de dirección.

Representaciones del vector

En el espacio tridimensional, un vector se representa por sus componentes X, Y, Z. La parte de magnitud del vector se expresa mediante la matriz de números, y la parte de dirección del vector se expresa mediante la matriz de vectores unitarios.

En la imagen adyacente, el vector a, que tiene tres componentes escalares ax, ay y az y tres vectores unitarios i, j, k a lo largo de X, Y y Z, puede representarse como:

a= ax i + ay j + az k……………………(1.1)

vector representation 1

In the matrix representation of the vector, the starting point of the vector is implicitly considered to be at the origin of the representing co-ordinate system and this is how the vector is different than a point.

The above vector can also be represented in matrix form as:

Image credit: Wikipedia

Multiplication of vector with another vector

The following MathCAD example is showing the inner product of two vectors:

vector representation 2

And the result is 20, which is a scalar quantity. Así, se puede concluir que el producto interior de los dos vectores produce una cantidad escalar.

Multiplicación de vector con un escalar

representación de vector 3

Así, al multiplicar por una cantidad escalar, las tres componentes del vector han escalado proporcionalmente o, lo que es lo mismo, el vector ha cambiado su magnitud sin cambiar su dirección.

Tensores

Ahora ya sabes que si quieres cambiar sólo la magnitud de un vector sin cambiar su dirección, acudirás a la multiplicación del vector por una cantidad escalar.

En caso de que quieras crear un nuevo vector con una magnitud así como una dirección diferente (a la del vector inicial) entonces tienes que multiplicar el vector inicial con otro tipo de entidad matemática llamada tensor.

El tensor es una forma más generalizada de escalar y vector. O bien, el escalar, vector son los casos especiales de tensor.

  • Si un tensor tiene sólo magnitud y ninguna dirección (es decir, tensor de rango 0), entonces se llama escalar.
  • Si un tensor tiene magnitud y una dirección (es decir, rango 1 tensor), entonces se llama vector.
  • Si un tensor tiene magnitud y dos direcciones (es decir, rango 2 tensor), entonces se llama díada.
  • Y así sucesivamente…

Tenga en cuenta que hay diferencias entre el término «dirección» y el término «dimensión». Todos los tipos de tensor (escalar, vectorial y diada) pueden definirse en un espacio tridimensional o sistema de coordenadas.

Para describir un tensor de rango 1, un subíndice debería ser suficiente. Refiérase a la Fig.1 y a la representación matricial del vector a arriba para una mejor claridad. Puede pensar en un vector de fuerza como ejemplo práctico.

Para describir un tensor o díada de rango 2, usaré el ejemplo del tensor de tensión mecánica a continuación:

Diferentes componentes de tensión de un sólido

Observe que cada uno de los componentes de tensión de la matriz del tensor de tensión tiene dos subíndices, el primer subíndice es para la dirección de la normal de área (la normal de superficie de la superficie x2 -x3 es 1 y así sucesivamente) y el segundo subíndice es para la dirección de la componente de tensión.

Así, el tensor de tensiones (una díada o tensor de rango 2) tiene dos direcciones, a saber, la dirección de la normal de área y la dirección de la componente de tensión.

Image credit: Wikipedia

Rotaciones mecánicas de vectores

Digamos que tenemos un vector y queremos cambiar su dirección, entonces tenemos que recurrir a la rotación del vector.

Para rotar el vector, multiplica el vector con la matriz de rotación y obtendrás el vector rotado.

rotación del vector sobre x

En el ejemplo anterior se rota el vector a un ángulo θ sobre el eje X y se produce el vector b.

rotación del vector sobre y

En el ejemplo anterior se rota el vector a con un ángulo θ sobre el eje Y y se produce el vector b.

rotación del vector sobre z

En el ejemplo anterior el vector a se rota un ángulo θ sobre el eje Z y se produce el vector b.

Tenga en cuenta que la matriz de rotación es también una matriz 3X3 pero no es necesariamente un tensor. El tensor es un objeto físico y en una matriz tensorial existen ciertas relaciones entre los diferentes elementos de la misma.

Conclusión

El tensor es la forma generalizada de vectores y escalares. Toda matriz no puede ser un tensor unitario; para ser un tensor los elementos de la matriz deben seguir ciertas relaciones entre sí. Un vector se puede rotar multiplicándolo por una matriz de rotación.

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