Posted on Hozzászólás most!

Mechanikai vektorok, forgások és tenzorok

Vektor

Minden olyan mennyiséget, amelynek nagysága és iránya is van, vektornak nevezünk. A sebesség, a gyorsulás és az erő néhány példa a mechanikai vektorokra.

A fenti definícióból tehát világosnak kell lennie, hogy minden vektornak két komponenssel kell rendelkeznie: a nagyság- és az iránykomponenssel.

A vektor ábrázolásai

A háromdimenziós térben egy vektort az X, Y, Z komponenseivel ábrázolunk. A vektor nagyságrendi részét a számok mátrixa, irányrendi részét pedig az egységvektorok mátrixa fejezi ki.

A szomszédos ábrán az a vektor, amelynek három skalárkomponense ax, ay és az, valamint három egységvektora i, j, k az X, Y és Z mentén, a következőképpen ábrázolható:

a= ax i + ay j + az k……………………(1.1)

vector representation 1

In the matrix representation of the vector, the starting point of the vector is implicitly considered to be at the origin of the representing co-ordinate system and this is how the vector is different than a point.

The above vector can also be represented in matrix form as:

Image credit: Wikipedia

Multiplication of vector with another vector

The following MathCAD example is showing the inner product of two vectors:

vector representation 2

And the result is 20, which is a scalar quantity. Tehát megállapítható, hogy a két vektor belső szorzata skalármennyiséget eredményez.

Vektor skalárral való szorzása

vektorábrázolás 3

A skalármennyiséggel való szorzással tehát a vektor mindhárom összetevője arányosan megnőtt, vagy más szóval a vektor megváltoztatta a nagyságát anélkül, hogy az iránya megváltozott volna.

Tenzorok

Most már tudod, hogy ha egy vektornak csak a nagyságát akarod megváltoztatni anélkül, hogy az irányát megváltoztatnád, akkor a vektor skalármennyiséggel való szorzását választod.

Ha egy új vektort akarsz létrehozni, amelynek mind a nagysága, mind az iránya más (mint a kezdeti vektoré), akkor a kezdeti vektort egy másik típusú matematikai egységgel, az úgynevezett tenzorral kell megszoroznod.

A tenzor a skalár és a vektor általánosított formája. Illetve a skalár, vektor a tenzor speciális esetei.

  • Ha egy tenzornak csak nagysága van és nincs iránya (azaz 0. rangú tenzor), akkor skalárnak nevezzük.
  • Ha egy tenzornak nagysága és egy iránya van (azaz, rangú tenzor), akkor vektornak nevezzük.
  • Ha egy tenzornak van nagysága és két iránya (azaz 2. rangú tenzor), akkor kétirányúnak nevezzük.
  • És így tovább…

Kérem, vegye figyelembe, hogy az “irány” és a “dimenzió” kifejezés között különbség van. A tenzorok minden típusa (skalár, vektor és dyád) háromdimenziós térben vagy koordináta-rendszerben definiálható.

A rank-1 tenzor leírásához elegendő egy index. A jobb áttekinthetőség érdekében lásd az 1. ábrát és az a vektor fenti mátrixábrázolását. Gyakorlati példaként gondolhatunk egy erővektorra.

A 2-es rangú tenzor vagy diád leírásához az alábbiakban a mechanikai feszültségtenzor példáját fogom használni:

Egy szilárd test különböző feszültségkomponensei

Kérem, figyelje meg, hogy a feszültségtenzor mátrixának minden egyes feszültségkomponense két indexszel rendelkezik, az első index a területi normális irányát jelöli (az x2 -x3 felület felületi normálisa 1 és így tovább), a második index pedig a feszültségkomponens irányát.

A feszültségtenzornak (egy dyad vagy rank-2 tenzor) tehát két iránya van, nevezetesen a felületi normális és a feszültségkomponens iránya.

Képhitel: Wikipedia

Mechanikai vektorforgatás

Tegyük fel, hogy van egy vektorunk, és meg akarjuk változtatni az irányát, akkor a vektorforgatáshoz kell folyamodnunk.

A vektor forgatásához szorozzuk meg a vektort a forgatási mátrixszal, és megkapjuk a forgatott vektort.

vektor forgatása x körül

A fenti példában az a vektort θ szöggel elforgatjuk az X tengely körül, és a b vektor keletkezik.

vektorforgatás y körül

A fenti példában az a vektort θ szöggel elforgatjuk az Y tengely körül, és a b vektor keletkezik.

vektorforgatás z körül

A fenti példában az a vektort θ szöggel elforgatjuk a Z tengely körül, és a b vektor keletkezik.

Megjegyezzük, hogy a forgatási mátrix is egy 3X3 mátrix, de nem feltétlenül tenzor. A tenzor egy fizikai objektum, és egy tenzormátrixban bizonyos kapcsolatok vannak a különböző elemei között.

Következtetés

A tenzor a vektorok és skalárok általánosított formája. Nem lehet minden mátrix egységesen tenzor; ahhoz, hogy tenzor legyen, a mátrix elemeinek bizonyos kapcsolatokat kell követniük egymás között. Egy vektort úgy lehet elforgatni, hogy megszorozzuk egy forgatási mátrixszal.

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail-címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöltük