Pubblicato il Lascia un commento

Vettori meccanici, rotazioni e tensori

Vettore

Qualsiasi quantità che ha sia grandezza che direzione è chiamata vettore. Velocità, accelerazione e forza sono alcuni esempi di vettori meccanici.

Quindi, dalla definizione di cui sopra dovrebbe essere chiaro che ogni vettore deve avere due componenti: la componente di grandezza e la componente di direzione.

Rappresentazioni di vettore

Nello spazio tridimensionale, un vettore è rappresentato dalle sue componenti X, Y, Z. La parte di grandezza del vettore è espressa dalla matrice di numeri, e la parte di direzione del vettore è espressa dalla matrice di vettori unitari.

Nella figura adiacente, il vettore a, che ha tre componenti scalari ax, ay, e az e tre vettori unitari i, j, k lungo X, Y e Z, può essere rappresentato come:

a= ax i + ay j + az k……………………(1.1)

vector representation 1

In the matrix representation of the vector, the starting point of the vector is implicitly considered to be at the origin of the representing co-ordinate system and this is how the vector is different than a point.

The above vector can also be represented in matrix form as:

Image credit: Wikipedia

Multiplication of vector with another vector

The following MathCAD example is showing the inner product of two vectors:

vector representation 2

And the result is 20, which is a scalar quantity. Quindi, si può concludere che il prodotto interno dei due vettori produce una quantità scalare.

Moltiplicazione di vettore con uno scalare

rappresentazione vettoriale 3

Quindi, moltiplicando per una quantità scalare, tutte e tre le componenti del vettore sono aumentate proporzionalmente o, in altre parole, il vettore ha cambiato la sua grandezza senza cambiare direzione.

Tensori

Ora sapete che se volete cambiare solo la grandezza di un vettore senza cambiare la sua direzione, andrete per la moltiplicazione del vettore con una quantità scalare.

Nel caso in cui si voglia creare un nuovo vettore con una grandezza e una direzione diverse (rispetto al vettore iniziale) allora bisogna moltiplicare il vettore iniziale con un altro tipo di entità matematica chiamata tensore.

Il tensore è una forma più generalizzata di scalare e vettore. Oppure, lo scalare e il vettore sono i casi speciali del tensore.

  • Se un tensore ha solo grandezza e nessuna direzione (cioè, tensore di rango 0), allora si chiama scalare.
  • Se un tensore ha grandezza e una direzione (cioè, tensore di rango 1), allora si chiama vettore.
  • Se un tensore ha magnitudine e due direzioni (cioè, tensore di rango 2), allora si chiama diade.
  • E così via…

Si noti che ci sono differenze tra il termine “direzione” e il termine “dimensione”. Tutti i tipi di tensore (scalare, vettore e diade) possono essere definiti in uno spazio tridimensionale o sistema di coordinate.

Per descrivere un tensore di rango 1, un pedice dovrebbe essere sufficiente. Fate riferimento alla Fig.1 e alla rappresentazione della matrice del vettore a qui sopra per una migliore chiarezza. Si può pensare a un vettore forza per un esempio pratico.

Per descrivere un tensore o diade di rango 2, userò l’esempio del tensore di stress meccanico qui sotto:

Diverse componenti di stress di un solido

Si noti che ogni componente di stress della matrice del tensore di stress ha due pedici, il primo pedice è per la direzione della normale all’area (la normale alla superficie x2 -x3 è 1 e così via) e il secondo pedice è per la direzione della componente di stress.

Così, il tensore di stress (una diade o tensore di rango-2) ha due direzioni e cioè la direzione della normale all’area e la direzione della componente di stress.

Image credit: Wikipedia

Rotazioni vettoriali meccaniche

Sai, hai un vettore e vuoi cambiare la direzione di esso allora devi fare una rotazione vettoriale.

Per ruotare il vettore, moltiplica il vettore con la matrice di rotazione e otterrai il vettore ruotato.

rotazione vettoriale su x

Nell’esempio precedente il vettore a viene ruotato di angolo θ sull’asse X e viene prodotto il vettore b.

rotazione del vettore intorno a y

Nell’esempio precedente il vettore a è ruotato di un angolo θ intorno all’asse Y e viene prodotto il vettore b.

rotazione del vettore intorno a z

Nell’esempio precedente il vettore a viene ruotato di angolo θ intorno all’asse Z e viene prodotto il vettore b.

Si noti che anche la matrice di rotazione è una matrice 3X3 ma non è necessariamente un tensore. Il tensore è un oggetto fisico e in una matrice tensoriale ci sono certe relazioni tra i diversi elementi di essa.

Conclusione

Il tensore è la forma generalizzata di vettori e scalari. Tutte le matrici non possono essere un tensore unitario; per essere un tensore gli elementi della matrice devono seguire certe relazioni tra di loro. Un vettore può essere ruotato moltiplicandolo per una matrice di rotazione.

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *