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機械的なベクトル、回転、およびテンソル

ベクトル

大きさと方向の両方を持つ任意の量は、ベクトルと呼ばれます。

ですから、上記の定義から、すべてのベクトルは大きさの成分と方向の成分の2つを持たなければならないことが明らかでしょう。

ベクトルの表現

3次元空間において、ベクトルはそのX、Y、Z成分によって表されます。

次の図において、X、Y、Zに沿った3つのスカラー成分ax、ay、azと3つの単位ベクトルi、j、kを持つベクトルaは、次のように表すことができます:

a= ax i + ay j + az k………(1.1)

vector representation 1

In the matrix representation of the vector, the starting point of the vector is implicitly considered to be at the origin of the representing co-ordinate system and this is how the vector is different than a point.

The above vector can also be represented in matrix form as:

Image credit: Wikipedia

Multiplication of vector with another vector

The following MathCAD example is showing the inner product of two vectors:

vector representation 2

And the result is 20, which is a scalar quantity.

ベクトルとスカラーの掛け算

ベクトルの表現3

つまり、スカラーを掛けることによって、ベクトルの3成分すべてが比例してスケールアップした、言い換えれば、ベクトルは方向を変えずに大きさを変えたことになるわけですね。

テンソル

ここまでで、方向を変えずにベクトルの大きさだけを変えたい場合は、ベクトルにスカラー量を掛けることになることがお分かりいただけたと思います。

(最初のベクトルとは) 方向だけでなく大きさも異なる新しいベクトルを作成したい場合は、最初のベクトルにテンソルと呼ばれる別の種類の数学的実体を掛け合わせる必要があります。

テンソルはスカラーやベクトルをより一般化したもので、スカラーやベクトルはテンソルの特殊例です。

  • テンソルが大きさだけで方向を持たない場合(すなわち、ランク0のテンソル)、それはスカラーと呼ばれる
  • テンソルが大きさと一つの方向(すなわち。
  • 大きさと1つの方向(つまりランク1テンソル)を持つテンソルはベクトルと呼ばれる。
  • 大きさと2つの方向(つまりランク2テンソル)を持つテンソルはダイアドと呼ばれる
  • and so on…

用語 “direction” と用語 “dimension” には違いがあることに注意してください。

ランク1のテンソルを記述する場合、添え字は1つで十分でしょう。 図1と、上記のベクトルaの行列表現を参照すると、よりわかりやすいでしょう。 例として、力のベクトルを考えてみてください。

ランク2のテンソルやダイアドを記述するために、以下では機械的応力テンソルを例にとって説明する。

固体の異なる応力成分

応力テンソル行列の各応力成分には、2つの添え字があり、最初の添え字は領域法線の方向 (x2 -x3 面の表面法線が 1 など) 、2番目の添え字は応力成分の方向であることに注目してください。

つまり、応力テンソル (ダイアドまたはランク 2 テンソル) は、面積法線の方向と応力成分の方向という 2 つの方向を持ちます。

画像引用: Wikipedia

メカニカルなベクトルの回転

あるベクトルがあったとして、その方向を変えたい場合は、ベクトルの回転に踏み切らなければなりません。

ベクトルの回転は、ベクトルに回転行列を掛けると、回転したベクトルが得られます。

X軸に関するベクトルの回転

上の例では、X軸を軸としてベクトルaが角度θだけ回転してベクトルbが生成されます。

Y軸を中心としたベクトル回転

上の例では、ベクトルaがY軸を中心に角度θだけ回転し、ベクトルbが生成されます。

ベクトルz回転

上の例では、ベクトルaがZ軸に対して角度θだけ回転し、ベクトルbが生成されます。

回転行列も3X3行列ですが、テンソルであるとは限りませんので注意してください。

テンソルは物理的なオブジェクトであり、テンソル行列では、その異なる要素の間にある種の関係が存在します。 すべての行列はテンソル単体になることはできず、テンソルであるためには、行列の要素は互いに一定の関係に従わなければならない。 ベクトルは回転行列をかけることで回転させることができる。

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