Geplaatst op Geef een reactie

Mechanische vectoren, rotaties en tensoren

Vector

Elke grootheid die zowel een magnitude als een richting heeft, wordt een vector genoemd. Snelheid, versnelling en kracht zijn enkele voorbeelden van mechanische vectoren.

Uit bovenstaande definitie zou dus duidelijk moeten zijn dat elke vector twee componenten moet hebben: de magnitudecomponent en de richtingscomponent.

Voorstellingen van vectoren

In de driedimensionale ruimte wordt een vector voorgesteld door zijn X-, Y- en Z-componenten. Het magnitudedeel van de vector wordt uitgedrukt door de matrix van getallen, en het richtingsdeel van de vector wordt uitgedrukt door de matrix van eenheidsvectoren.

In het plaatje hiernaast kan de vector a, die drie scalaire componenten ax, ay, en az heeft en drie eenheidsvectoren i, j, k langs X, Y en Z, worden voorgesteld als:

a= ax i + ay j + az k……………………(1.1)

vector representation 1

In the matrix representation of the vector, the starting point of the vector is implicitly considered to be at the origin of the representing co-ordinate system and this is how the vector is different than a point.

The above vector can also be represented in matrix form as:

Image credit: Wikipedia

Multiplication of vector with another vector

The following MathCAD example is showing the inner product of two vectors:

vector representation 2

And the result is 20, which is a scalar quantity. Hieruit kan dus worden geconcludeerd dat het inwendig product van de twee vectoren een scalaire grootheid oplevert.

Vermenigvuldiging van vector met een scalair

vectorvoorstelling 3

Door vermenigvuldiging met een scalaire grootheid zijn dus alle drie de componenten van de vector evenredig opgeschaald of, met andere woorden, de vector is van grootte veranderd zonder dat de richting is veranderd.

Tensoren

Nu weet je dat als je alleen de magnitude van een vector wilt veranderen zonder de richting te veranderen, je voor de vermenigvuldiging van de vector met een scalaire grootheid gaat.

Wilt men een nieuwe vector met een andere magnitude en richting (dan de oorspronkelijke vector), dan moet men de oorspronkelijke vector vermenigvuldigen met een ander type wiskundige entiteit, een tensor genaamd.

De tensor is een meer veralgemeende vorm van scalair en vector. Of, de scalar, vector zijn de speciale gevallen van tensor.

  • Als een tensor alleen magnitude heeft en geen richting (d.w.z., rang 0 tensor), dan heet hij scalar.
  • Als een tensor magnitude heeft en één richting (d.w.z., rang 1 tensor), dan heet hij vector.
  • Als een tensor magnitude en twee richtingen heeft (d.w.z. rang 2 tensor), dan heet hij dyade.
  • Enzovoort…

Let op dat er verschillen zijn tussen de term “richting” en de term “dimensie”. Alle typen tensoren (scalair, vector en dyade) kunnen worden gedefinieerd in een driedimensionale ruimte of coördinatenstelsel.

Voor de beschrijving van een rang-1 tensor zou één subscript voldoende moeten zijn. Zie Fig.1 en de matrixvoorstelling van de vector a hierboven voor meer duidelijkheid. Als praktisch voorbeeld kun je denken aan een krachtvector.

Voor de beschrijving van een rang-2 tensor of dyade zal ik hieronder het voorbeeld van de mechanische spanningstensor gebruiken:

Verschillende spanningscomponenten van een vast lichaam

Merk op dat elk van de spanningscomponenten van de spanningstensor matrix twee subscripts heeft, het eerste subscript is voor de richting van de oppervlaknormaal (de oppervlaknormaal van het x2 -x3 oppervlak is 1 enzovoort) en het tweede subscript is voor de richting van de spanningscomponent.

Dus de spanningstensor (een dyade of rang-2 tensor) heeft twee richtingen, namelijk de richting van de oppervlaknormaal en de richting van de spanningscomponent.

Image credit: Wikipedia

Mechanische vectorrotaties

Zo, je hebt een vector en je wilt de richting ervan veranderen dan moet je voor de vectorrotatie gaan.

Voor het roteren van de vector vermenigvuldigt u de vector met de rotatiematrix en u krijgt de geroteerde vector.

vectorrotatie om x

In bovenstaand voorbeeld wordt de vector a om de X-as geroteerd onder een hoek θ en ontstaat de vector b.

vectorrotatie om y

In bovenstaand voorbeeld wordt de vector a geroteerd onder een hoek θ om de Y-as en wordt de vector b geproduceerd.

vectorrotatie om z

In bovenstaand voorbeeld wordt de vector a geroteerd over een hoek θ om de Z-as en ontstaat de vector b.

Merk op dat de rotatiematrix ook een 3X3 matrix is, maar niet noodzakelijkerwijs een tensor. Tensor is een fysisch object en in een tensormatrix zijn er bepaalde relaties tussen de verschillende elementen ervan.

Conclusie

Tensor is de veralgemeende vorm van vectoren en scalaren. Niet alle matrices kunnen een tensor unitair zijn; om een tensor te zijn moeten de matrixelementen onderling bepaalde relaties volgen. Een vector kan geroteerd worden door hem te vermenigvuldigen met een rotatiematrix.

Geef een antwoord

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *