Opublikowano Dodaj komentarz

Wektory mechaniczne, obroty i tensory

Wektor

Każda wielkość, która ma zarówno wielkość jak i kierunek jest nazywana wektorem. Prędkość, przyspieszenie i siła to kilka przykładów wektorów mechanicznych.

Więc, z powyższej definicji powinno być jasne, że każdy wektor musi mieć dwie składowe: składową wielkości i składową kierunku.

Prezentacje wektora

W przestrzeni trójwymiarowej, wektor jest reprezentowany przez jego składowe X, Y, Z. Część wielkościowa wektora jest wyrażona macierzą liczb, a część kierunkowa wektora jest wyrażona macierzą wektorów jednostkowych.

Na rysunku obok wektor a, który ma trzy składowe skalarne ax, ay, i az oraz trzy wektory jednostkowe i, j, k wzdłuż X, Y i Z, można przedstawić jako:

a= ax i + ay j + az k……………………(1.1)

vector representation 1

In the matrix representation of the vector, the starting point of the vector is implicitly considered to be at the origin of the representing co-ordinate system and this is how the vector is different than a point.

The above vector can also be represented in matrix form as:

Image credit: Wikipedia

Multiplication of vector with another vector

The following MathCAD example is showing the inner product of two vectors:

vector representation 2

And the result is 20, which is a scalar quantity. Można więc stwierdzić, że iloczyn wewnętrzny tych dwóch wektorów daje wielkość skalarną.

Mnożenie wektora przez skalar

przedstawienie wektorowe 3

Więc, mnożąc przez wielkość skalarną, wszystkie trzy składowe wektora zostały proporcjonalnie przeskalowane lub, innymi słowy, wektor zmienił swoją wielkość bez zmiany kierunku.

Tensory

Do tej pory wiesz, że jeśli chcesz zmienić tylko wielkość wektora bez zmiany jego kierunku, pomnożysz wektor przez wielkość skalarną.

W przypadku, gdy chcesz utworzyć nowy wektor o innej wielkości, jak również kierunku (niż wektor początkowy), wtedy musisz pomnożyć wektor początkowy z innym rodzajem bytu matematycznego zwanego tensorem.

Tensor jest bardziej uogólnioną formą skalara i wektora. Lub, skalar, wektor są specjalnymi przypadkami tensora.

  • Jeśli tensor ma tylko wielkość i nie ma kierunku (tj. tensor rangi 0), to jest nazywany skalarem.
  • Jeśli tensor ma wielkość i jeden kierunek (tj, tensor rangi 1), to jest nazywany wektorem.
  • Jeśli tensor ma wielkość i dwa kierunki (tj. tensor rangi 2), to jest nazywany dyad.
  • I tak dalej…

Proszę zauważyć, że istnieją różnice między terminem „kierunek” a terminem „wymiar”. Wszystkie typy tensorów (skalarny, wektorowy i dyad) mogą być zdefiniowane w trójwymiarowej przestrzeni lub układzie współrzędnych.

Do opisania tensora rangi 1, jeden indeks powinien być wystarczający. Dla lepszej przejrzystości odwołaj się do Rys.1 i macierzowej reprezentacji wektora a powyżej. Możesz pomyśleć o wektorze siły jako praktycznym przykładzie.

Do opisania tensora rangi 2 lub dyad posłużę się poniższym przykładem tensora naprężeń mechanicznych:

Różne składowe naprężenia w bryle

Proszę zauważyć, że każda ze składowych naprężenia w macierzy tensora naprężeń ma dwa indeksy, pierwszy indeks oznacza kierunek normalnej powierzchni (normalna powierzchni x2 -x3 wynosi 1 i tak dalej), a drugi indeks oznacza kierunek składowej naprężenia.

Więc, tensor naprężeń (dyad lub tensor rangi 2) ma dwa kierunki, mianowicie kierunek normalnej powierzchni i kierunek składowej naprężenia.

Image credit: Wikipedia

Mechaniczne obroty wektorów

Powiedzmy, że mamy wektor i chcemy zmienić jego kierunek, wtedy musimy wykonać obrót wektora.

Aby obrócić wektor, pomnóż go przez macierz obrotu i otrzymasz obrócony wektor.

obrót wektora o x

W powyższym przykładzie wektor a jest obracany o kąt θ wokół osi X i powstaje wektor b.

obrót wektora o y

W powyższym przykładzie wektor a obracamy o kąt θ wokół osi Y i otrzymujemy wektor b.

obrót wektora o z

W powyższym przykładzie wektor a jest obracany o kąt θ wokół osi Z i powstaje wektor b.

Proszę zauważyć, że macierz obrotu jest również macierzą 3X3, ale niekoniecznie jest to tensor. Tensor jest obiektem fizycznym i w macierzy tensorowej istnieją pewne relacje pomiędzy różnymi jej elementami.

Wniosek

Tensor jest uogólnioną formą wektorów i skalarów. Wszystkie macierze nie mogą być tensorami jednostkowymi; aby być tensorem elementy macierzy muszą zachowywać między sobą pewne relacje. Wektor można obrócić mnożąc go przez macierz rotacji.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *