Vector
Qualquer quantidade que tenha tanto a magnitude como a direcção é chamada vector. Velocidade, aceleração, e força são alguns exemplos de vetores mecânicos.
P>Então, da definição acima deve ficar claro que cada vetor deve ter dois componentes: o componente de magnitude e o componente de direção.
Representações de vetor
No espaço tridimensional, um vetor é representado por seus componentes X, Y, Z. A parte de magnitude do vetor é expressa pela matriz de números, e a parte de direção do vetor é expressa pela matriz de vetores unitários.
Na figura adjacente, o vetor a, que tem três componentes escalares eixo, ay, e az e três vetores unitários i, j, k ao longo de X, Y e Z, pode ser representado como:
a= eixo i + ay j + az k……………………(1.1)
In the matrix representation of the vector, the starting point of the vector is implicitly considered to be at the origin of the representing co-ordinate system and this is how the vector is different than a point.
The above vector can also be represented in matrix form as:
Image credit: Wikipedia
Multiplication of vector with another vector
The following MathCAD example is showing the inner product of two vectors:
And the result is 20, which is a scalar quantity. Assim, pode-se concluir que o produto interno dos dois vetores produz uma quantidade escalar.
Multiplicação do vetor com uma quantidade escalar
Assim, multiplicando por uma quantidade escalar, todos os três componentes do vetor escalaram proporcionalmente ou, em outras palavras, o vetor alterou sua magnitude sem alterar sua direção.
Tensores
Por isso, agora você sabe que se você quiser mudar apenas a magnitude de um vetor sem mudar sua direção, você irá para a multiplicação do vetor com uma quantidade escalar.
Caso queira criar um novo vector com uma magnitude e direcção diferentes (do que o vector inicial) então terá de multiplicar o vector inicial por outro tipo de entidade matemática chamada tensor.
O tensor é uma forma mais generalizada de escalar e vector. Ou, o escalar, vector são os casos especiais de tensor.
- Se um tensor tem apenas magnitude e nenhuma direcção (i.e., grau 0 tensor), então é chamado escalar.
- Se um tensor tem magnitude e uma direcção (i.e., grau 0 tensor), então é chamado escalar.
- Se um tensor tem magnitude e uma direcção (i.e, se um tensor tem magnitude e duas direcções (ou seja, tensor de nível 1), então chama-se vector.
- Se um tensor tem magnitude e duas direcções (ou seja, tensor de nível 2), então chama-se dyad.
- E assim por diante….
Por favor note que há diferenças entre o termo “direcção” e o termo “dimensão”. Todos os tipos de tensor (escalar, vetor e dyad) podem ser definidos em um espaço tridimensional ou sistema coordenado.
Para descrever um tensor de rank-1, um subescrito deve ser suficiente. Consulte a Fig.1 e a representação matricial do vetor a acima para uma melhor clareza. Você pode pensar em um vetor de força para um exemplo prático.
Para descrever um tensor de Rank-2 ou díada, vou usar o exemplo de tensor de tensão mecânica abaixo:
Por favor observe que cada um dos componentes de tensão da matriz tensora de tensão tem duas subescritas, a primeira subescrita é para a direção da área normal (a superfície normal da superfície x2 -x3 é 1 e assim por diante) e a segunda subescrita é para a direção da componente de tensão.
Então, o tensor de tensão (um díade ou tensor de grau 2) tem duas direções: direção da área normal e a direção do componente de tensão.
Crédito de imagem: Wikipedia
Rotações Vetoriais Mecânicas
Diga, você tem um vetor e quer mudar a direção dele então você tem que ir para a rotação vetorial.
Para rodar o vector, multiplique o vector com a matriz de rotação e obterá o vector rodado.
No exemplo acima o vector a é rodado pelo ângulo θ acerca do eixo X e o vector b é produzido.
No exemplo acima o vector a é rodado pelo ângulo θ acerca do eixo Y e o vector b é produzido.
No exemplo acima o vector a é rodado pelo ângulo θ acerca do eixo Z e o vector b é produzido.
Por favor note que a matriz de rotação também é uma matriz 3X3 mas não é necessariamente um tensor. Tensor é um objeto físico e em uma matriz tensora existem certas relações entre os diferentes elementos da mesma.
Conclusão
Tensor é a forma generalizada de vetores e escalares. Todas as matrizes não podem ser unitárias tensoriais; para serem tensoriais os elementos da matriz devem seguir certas relações entre si. Um vetor pode ser girado multiplicando-o por uma matriz de rotação.