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Vectores Mecânicos, Rotações e Tensores

Vector

Qualquer quantidade que tenha tanto a magnitude como a direcção é chamada vector. Velocidade, aceleração, e força são alguns exemplos de vetores mecânicos.

P>Então, da definição acima deve ficar claro que cada vetor deve ter dois componentes: o componente de magnitude e o componente de direção.

Representações de vetor

No espaço tridimensional, um vetor é representado por seus componentes X, Y, Z. A parte de magnitude do vetor é expressa pela matriz de números, e a parte de direção do vetor é expressa pela matriz de vetores unitários.

Na figura adjacente, o vetor a, que tem três componentes escalares eixo, ay, e az e três vetores unitários i, j, k ao longo de X, Y e Z, pode ser representado como:

a= eixo i + ay j + az k……………………(1.1)

vector representation 1

In the matrix representation of the vector, the starting point of the vector is implicitly considered to be at the origin of the representing co-ordinate system and this is how the vector is different than a point.

The above vector can also be represented in matrix form as:

Image credit: Wikipedia

Multiplication of vector with another vector

The following MathCAD example is showing the inner product of two vectors:

vector representation 2

And the result is 20, which is a scalar quantity. Assim, pode-se concluir que o produto interno dos dois vetores produz uma quantidade escalar.

Multiplicação do vetor com uma quantidade escalar

representação do vetor 3

Assim, multiplicando por uma quantidade escalar, todos os três componentes do vetor escalaram proporcionalmente ou, em outras palavras, o vetor alterou sua magnitude sem alterar sua direção.

Tensores

Por isso, agora você sabe que se você quiser mudar apenas a magnitude de um vetor sem mudar sua direção, você irá para a multiplicação do vetor com uma quantidade escalar.

Caso queira criar um novo vector com uma magnitude e direcção diferentes (do que o vector inicial) então terá de multiplicar o vector inicial por outro tipo de entidade matemática chamada tensor.

O tensor é uma forma mais generalizada de escalar e vector. Ou, o escalar, vector são os casos especiais de tensor.

  • Se um tensor tem apenas magnitude e nenhuma direcção (i.e., grau 0 tensor), então é chamado escalar.
  • Se um tensor tem magnitude e uma direcção (i.e., grau 0 tensor), então é chamado escalar.
  • Se um tensor tem magnitude e uma direcção (i.e, se um tensor tem magnitude e duas direcções (ou seja, tensor de nível 1), então chama-se vector.
  • Se um tensor tem magnitude e duas direcções (ou seja, tensor de nível 2), então chama-se dyad.
  • E assim por diante….

Por favor note que há diferenças entre o termo “direcção” e o termo “dimensão”. Todos os tipos de tensor (escalar, vetor e dyad) podem ser definidos em um espaço tridimensional ou sistema coordenado.

Para descrever um tensor de rank-1, um subescrito deve ser suficiente. Consulte a Fig.1 e a representação matricial do vetor a acima para uma melhor clareza. Você pode pensar em um vetor de força para um exemplo prático.

Para descrever um tensor de Rank-2 ou díada, vou usar o exemplo de tensor de tensão mecânica abaixo:

Diferente componente de tensão de um sólido

Por favor observe que cada um dos componentes de tensão da matriz tensora de tensão tem duas subescritas, a primeira subescrita é para a direção da área normal (a superfície normal da superfície x2 -x3 é 1 e assim por diante) e a segunda subescrita é para a direção da componente de tensão.

Então, o tensor de tensão (um díade ou tensor de grau 2) tem duas direções: direção da área normal e a direção do componente de tensão.

Crédito de imagem: Wikipedia

Rotações Vetoriais Mecânicas

Diga, você tem um vetor e quer mudar a direção dele então você tem que ir para a rotação vetorial.

Para rodar o vector, multiplique o vector com a matriz de rotação e obterá o vector rodado.

rotação vectorial cerca de x

No exemplo acima o vector a é rodado pelo ângulo θ acerca do eixo X e o vector b é produzido.

rotação vectorial cerca de y

No exemplo acima o vector a é rodado pelo ângulo θ acerca do eixo Y e o vector b é produzido.

rotação vectorial cerca de z

No exemplo acima o vector a é rodado pelo ângulo θ acerca do eixo Z e o vector b é produzido.

Por favor note que a matriz de rotação também é uma matriz 3X3 mas não é necessariamente um tensor. Tensor é um objeto físico e em uma matriz tensora existem certas relações entre os diferentes elementos da mesma.

Conclusão

Tensor é a forma generalizada de vetores e escalares. Todas as matrizes não podem ser unitárias tensoriais; para serem tensoriais os elementos da matriz devem seguir certas relações entre si. Um vetor pode ser girado multiplicando-o por uma matriz de rotação.

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