Publicat pe Lasă un comentariu

Vectori, rotații și tensori mecanici

Vector

Orice mărime care are atât mărime, cât și sens se numește vector. Viteza, accelerația și forța sunt câteva exemple de vectori mecanici.

Prin urmare, din definiția de mai sus ar trebui să fie clar că fiecare vector trebuie să aibă două componente: componenta de mărime și componenta de direcție.

Reprezentări ale vectorului

În spațiul tridimensional, un vector este reprezentat de componentele sale X, Y, Z. Partea de mărime a vectorului este exprimată prin matricea numerelor, iar partea de direcție a vectorului este exprimată prin matricea vectorilor unitari.

În imaginea alăturată, vectorul a, care are trei componente scalare ax, ay și az și trei vectori unitari i, j, k de-a lungul X, Y și Z, poate fi reprezentat sub forma:

a= ax i + ay j + az k……………………(1.1)

vector representation 1

In the matrix representation of the vector, the starting point of the vector is implicitly considered to be at the origin of the representing co-ordinate system and this is how the vector is different than a point.

The above vector can also be represented in matrix form as:

Image credit: Wikipedia

Multiplication of vector with another vector

The following MathCAD example is showing the inner product of two vectors:

vector representation 2

And the result is 20, which is a scalar quantity. Deci, se poate concluziona că produsul interior al celor doi vectori produce o mărime scalară.

Multiplicarea vectorului cu o mărime scalară

reprezentare vectorială 3

Prin urmare, prin înmulțirea cu o mărime scalară, toate cele trei componente ale vectorului s-au mărit proporțional sau, cu alte cuvinte, vectorul și-a schimbat mărimea fără a-și schimba direcția.

Tensori

Până acum știți că, dacă doriți să modificați doar mărimea unui vector fără a-i schimba direcția, veți opta pentru înmulțirea vectorului cu o mărime scalară.

În cazul în care doriți să creați un nou vector cu o magnitudine diferită, precum și cu o direcție diferită (față de vectorul inițial), atunci trebuie să înmulțițiți vectorul inițial cu un alt tip de entitate matematică numită tensor.

Tensorul este o formă mai generalizată de scalar și vector. Sau, scalarul, vectorul sunt cazurile speciale ale tensorului.

  • Dacă un tensor are doar mărime și nici o direcție (adică, tensor de rang 0), atunci se numește scalar.
  • Dacă un tensor are mărime și o direcție (adică, tensor de rangul 1), atunci se numește vector.
  • Dacă un tensor are magnitudine și două direcții (adică tensor de rangul 2), atunci se numește diadă.
  • Și așa mai departe…

Te rugăm să reții că există diferențe între termenul „direcție” și termenul „dimensiune”. Toate tipurile de tensori (scalar, vector și diadă) pot fi definite într-un spațiu tridimensional sau într-un sistem de coordonate.

Pentru a descrie un tensor de rang 1, un singur indice ar trebui să fie suficient. Consultați Fig.1 și reprezentarea matriceală a vectorului a de mai sus pentru o mai bună claritate. Vă puteți gândi la un vector forță pentru un exemplu practic.

Pentru descrierea unui tensor sau a unei diade de rang 2, voi folosi exemplul tensorului de tensiune mecanică de mai jos:

Diferitele componente de tensiune ale unui solid

Observați că fiecare dintre componentele de tensiune din matricea tensorului de tensiune are doi indici, primul indice este pentru direcția normalei la suprafață (normala la suprafață a suprafeței x2 -x3 este 1 și așa mai departe) și al doilea indice este pentru direcția componentei de tensiune.

Așadar, tensorul de tensiuni (o diadă sau un tensor de rang 2) are două direcții, și anume direcția normalei la suprafață și direcția componentei de tensiune.

Creditul imaginii: Wikipedia

Rotații vectoriale mecanice

Să spunem că aveți un vector și doriți să schimbați direcția acestuia, atunci trebuie să apelați la rotația vectorială.

Pentru rotirea vectorului, înmulțiți vectorul cu matricea de rotație și veți obține vectorul rotit.

rotirea vectorului în jurul lui x

În exemplul de mai sus, vectorul a este rotit cu unghiul θ în jurul axei X și se obține vectorul b.

rotirea vectorului în jurul lui y

În exemplul de mai sus, vectorul a este rotit cu un unghi θ în jurul axei Y și se produce vectorul b.

rotație vectorială în jurul valorii de z

În exemplul de mai sus, vectorul a este rotit cu unghiul θ în jurul axei Z și se produce vectorul b.

Rețineți că matricea de rotație este, de asemenea, o matrice 3X3, dar nu este neapărat un tensor. Tensorul este un obiect fizic, iar într-o matrice tensorială există anumite relații între diferitele elemente ale acesteia.

Concluzie

Tensorul este forma generalizată a vectorilor și scalarilor. Toate matricele nu pot fi tensoriale unitare; pentru a fi un tensor elementele matricei trebuie să urmeze anumite relații între ele. Un vector poate fi rotit prin înmulțirea sa cu o matrice de rotație.

.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *