Publicerad den Lämna en kommentar

Mekaniska vektorer, rotationer och tensorer

Vektor

Alla storheter som har både storlek och riktning kallas vektorer. Hastighet, acceleration och kraft är några exempel på mekaniska vektorer.

Så från definitionen ovan borde det vara tydligt att varje vektor måste ha två komponenter: storhetskomponenten och riktningskomponenten.

Represtationer av vektor

I tredimensionellt rum representeras en vektor av sina X-, Y- och Z-komponenter. Vektorns storleksdel uttrycks genom matrisen av tal, och vektorns riktningsdel uttrycks genom matrisen av enhetsvektorer.

I den intilliggande bilden kan vektorn a, som har tre skalära komponenter ax, ay och az och tre enhetsvektorer i, j, k längs X, Y och Z, representeras som:

a= ax i + ay j + az k……………………(1.1)

vector representation 1

In the matrix representation of the vector, the starting point of the vector is implicitly considered to be at the origin of the representing co-ordinate system and this is how the vector is different than a point.

The above vector can also be represented in matrix form as:

Image credit: Wikipedia

Multiplication of vector with another vector

The following MathCAD example is showing the inner product of two vectors:

vector representation 2

And the result is 20, which is a scalar quantity. Man kan alltså dra slutsatsen att den inre produkten av de två vektorerna ger en skalär storhet.

Multiplikation av vektor med en skalär storhet

Vektorrepresentation 3

Så, genom att multiplicera med en skalär storhet har alla vektorns tre komponenter skalats upp proportionerligt, eller, med andra ord, vektorn har ändrat sin storhet utan att ändra sin riktning.

Tensorer

Med, nu vet du att om du vill ändra endast storleken på en vektor utan att ändra dess riktning, kommer du att gå till multiplikation av vektorn med en skalär kvantitet.

Om du vill skapa en ny vektor med en annan magnitud såväl som riktning (än den ursprungliga vektorn) så måste du multiplicera den ursprungliga vektorn med en annan typ av matematisk entitet som kallas för en tensor.

Tensorn är en mer generaliserad form av skalär och vektor. Eller så är skalär, vektor specialfall av tensor.

  • Om en tensor bara har magnitud och ingen riktning (dvs. en tensor av rang 0) kallas den skalär.
  • Om en tensor har magnitud och en riktning (dvs, rank 1 tensor), kallas den vektor.
  • Om en tensor har magnitud och två riktningar (dvs. rank 2 tensor), kallas den dyad.
  • Och så vidare…

Bemärk att det finns skillnader mellan begreppet ”riktning” och begreppet ”dimension”. Alla typer av tensorer (skalär, vektor och dyad) kan definieras i ett tredimensionellt rum eller koordinatsystem.

För att beskriva en rang-1-tensor bör det räcka med ett subscript. Se fig.1 och matrisrepresentationen av vektorn a ovan för bättre tydlighet. Du kan tänka på en kraftvektor som ett praktiskt exempel.

För att beskriva en rang-2 tensor eller dyad kommer jag att använda exemplet med mekanisk spänningstensor nedan:

Differenta spänningskomponenter i ett fast ämne

Observera att var och en av spänningskomponenterna i matrisen för spänningstensorn har två substitut, det första substitutet står för riktningen av ytnormalen (ytnormalen för x2 -x3-ytan är 1 och så vidare) och det andra substitutet står för riktningen av spänningskomponenten.

Så spänningstensorn (en dyad eller rank-2 tensor) har två riktningar, nämligen riktningen för ytnormalen och riktningen för spänningskomponenten.

Bildkredit: Wikipedia

Mekaniska vektorrotationer

Säg att du har en vektor och du vill ändra riktningen på den, då måste du gå till vektorrotationen.

För att rotera vektorn multiplicerar du vektorn med rotationsmatrisen och du får den roterade vektorn.

Vektorrotation om x

I exemplet ovan roteras vektorn a med vinkeln θ om X-axeln och vektorn b uppstår.

vektorrotation om y

I ovanstående exempel roteras vektorn a med vinkeln θ om Y-axeln och vektorn b produceras.

vektorrotation om z

I exemplet ovan roteras vektorn a med vinkeln θ om Z-axeln och vektorn b bildas.

Observera att rotationsmatrisen också är en 3X3-matris, men den är inte nödvändigtvis en tensor. Tensor är ett fysiskt objekt och i en tensor-matris finns det vissa relationer mellan de olika elementen i den.

Slutsats

Tensor är den generaliserade formen av vektorer och skalärer. Alla matriser kan inte vara en enhetlig tensor; för att vara en tensor måste matriselementen följa vissa relationer mellan varandra. En vektor kan roteras genom att multiplicera den med en rotationsmatris.

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras. Obligatoriska fält är märkta *