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Vecteurs mécaniques, rotations et tenseurs

Vecteur

Toute quantité qui a à la fois une magnitude et une direction est appelée un vecteur. La vitesse, l’accélération et la force sont quelques exemples de vecteurs mécaniques.

Donc, d’après la définition ci-dessus, il devrait être clair que tout vecteur doit avoir deux composantes : la composante de magnitude et la composante de direction.

Représentations du vecteur

Dans un espace tridimensionnel, un vecteur est représenté par ses composantes X, Y, Z. La partie magnitude du vecteur est exprimée par la matrice des nombres, et la partie direction du vecteur est exprimée par la matrice des vecteurs unitaires.

Dans l’image ci-contre, le vecteur a, qui a trois composantes scalaires ax, ay, et az et trois vecteurs unitaires i, j, k le long de X, Y et Z, peut être représenté comme:

a= ax i + ay j + az k……………………(1.1)

vector representation 1

In the matrix representation of the vector, the starting point of the vector is implicitly considered to be at the origin of the representing co-ordinate system and this is how the vector is different than a point.

The above vector can also be represented in matrix form as:

Image credit: Wikipedia

Multiplication of vector with another vector

The following MathCAD example is showing the inner product of two vectors:

vector representation 2

And the result is 20, which is a scalar quantity. On peut donc conclure que le produit interne des deux vecteurs produit une quantité scalaire.

Multiplication du vecteur par un scalaire

représentation du vecteur 3

Donc, en multipliant par une quantité scalaire, les trois composantes du vecteur ont augmenté proportionnellement ou, en d’autres termes, le vecteur a changé de magnitude sans changer de direction.

Tenseurs

Par, maintenant vous savez que si vous voulez changer uniquement la magnitude d’un vecteur sans changer sa direction, vous allez opter pour la multiplication du vecteur avec une quantité scalaire.

Dans le cas où vous voulez créer un nouveau vecteur avec une magnitude ainsi qu’une direction différentes (que le vecteur initial), alors vous devez multiplier le vecteur initial avec un autre type d’entité mathématique appelée un tenseur.

Le tenseur est une forme plus généralisée de scalaire et de vecteur. Ou encore, le scalaire, le vecteur sont les cas particuliers du tenseur.

  • Si un tenseur a seulement une magnitude et aucune direction (c’est-à-dire un tenseur de rang 0), alors il est appelé scalaire.
  • Si un tenseur a une magnitude et une direction (c’est-à-dire, tenseur de rang 1), alors il est appelé vecteur.
  • Si un tenseur a une magnitude et deux directions (c’est-à-dire un tenseur de rang 2), alors il est appelé dyade.
  • Et ainsi de suite…

Veuillez noter qu’il existe des différences entre le terme « direction » et le terme « dimension ». Tous les types de tenseurs (scalaire, vecteur et dyade) peuvent être définis dans un espace ou un système de coordonnées à trois dimensions.

Pour décrire un tenseur de rang 1, un seul indice devrait être suffisant. Référez-vous à la Fig.1 et à la représentation matricielle du vecteur a ci-dessus pour plus de clarté. Vous pouvez penser à un vecteur force pour un exemple pratique.

Pour décrire un tenseur ou une dyade de rang 2, je vais utiliser l’exemple du tenseur des contraintes mécaniques ci-dessous :

Différentes composantes de contrainte d'un solide

Veuillez observer que chacune des composantes de contrainte de la matrice du tenseur de contrainte a deux indices, le premier indice est pour la direction de la normale à la surface (la normale à la surface x2 -x3 est 1 et ainsi de suite) et le second indice est pour la direction de la composante de contrainte.

Donc, le tenseur de contrainte (une dyade ou un tenseur de rang 2) a deux directions à savoir la direction de la normale à la surface et la direction de la composante de contrainte.

Crédit image : Wikipédia

Rotation de vecteurs mécaniques

Disons que vous avez un vecteur et que vous voulez changer la direction de celui-ci alors vous devez opter pour la rotation du vecteur.

Pour faire tourner le vecteur, multipliez le vecteur avec la matrice de rotation et vous obtiendrez le vecteur tourné.

rotation du vecteur autour de x

Dans l’exemple ci-dessus, le vecteur a est tourné d’un angle θ autour de l’axe X et le vecteur b est produit.

rotation du vecteur autour de y

Dans l’exemple ci-dessus, le vecteur a est tourné d’un angle θ autour de l’axe Y et le vecteur b est produit.

rotation du vecteur autour de z

Dans l’exemple ci-dessus, le vecteur a est tourné d’un angle θ autour de l’axe Z et le vecteur b est produit.

Veuillez noter que la matrice de rotation est également une matrice 3X3 mais ce n’est pas nécessairement un tenseur. Le tenseur est un objet physique et dans une matrice tensorielle il y a certaines relations entre les différents éléments de celle-ci.

Conclusion

Le tenseur est la forme généralisée des vecteurs et des scalaires. Toutes les matrices ne peuvent pas être un tenseur unitaire ; pour être un tenseur les éléments de la matrice doivent suivre certaines relations entre eux. On peut faire pivoter un vecteur en le multipliant par une matrice de rotation.

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